Em matemática, os polinômios de Hall-Littlewood são funções simétricas que dependem de um parâmetro t e de uma partição λ. Eles são funções de Schur quando t é 0 e funções simétricas monomiais quando t é 1, sendo casos especiais dos polinômios de Macdonald. Eles foram definidos primeiramente de forma indireta por Philip Hall usando a álgebra de Hall, e posteriormente definidos de forma direta por Dudley E. Littlewood (1961).
Definição O polinômio de Hall-Littlewood P é definido por
P
λ
(
x
1
, ... ,
x
n
; t ) =
(
∏
i ≥ 0
∏
j = 1
m ( i )
1 − t
1 −
t
j
)
∑
w ∈
S
n
w
(
x
1
λ
1
⋯
x
n
λ
n
∏
i < j
x
i
− t
x
j
x
i
−
x
j
)
,
{\displaystyle P_{\lambda }(x_{1},\ldots ,x_{n};t)=\left(\prod _{i\geq 0}\prod _{j=1}^{m(i)}{\frac {1-t}{1-t^{j}}}\right){\sum _{w\in S_{n}}w\left(x_{1}^{\lambda _{1}}\cdots x_{n}^{\lambda _{n}}\prod _{i<j}{\frac {x_{i}-tx_{j}}{x_{i}-x_{j}}}\right)},}
onde λ é uma partição de no máximo n com elementos λi, e m(i) elementos iguais a i, e Sn é o grupo simétrico de ordem n!. Como um exemplo,
P
42
(
x
1
,
x
2
; t ) =
x
1
4
x
2
2
+
x
1
2
x
2
4
+ ( 1 − t )
x
1
3
x
2
3
{\displaystyle P_{42}(x_{1},x_{2};t)=x_{1}^{4}x_{2}^{2}+x_{1}^{2}x_{2}^{4}+(1-t)x_{1}^{3}x_{2}^{3}}
Especializações Temos que
P
λ
( x ; 1 ) =
m
λ
( x )
{\displaystyle P_{\lambda }(x;1)=m_{\lambda }(x)}
,
P
λ
( x ; 0 ) =
s
λ
( x )
{\displaystyle P_{\lambda }(x;0)=s_{\lambda }(x)}
e
P
λ
( x ; − 1 ) =
P
λ
( x )
{\displaystyle P_{\lambda }(x;-1)=P_{\lambda }(x)}
onde este último representa os polinômios P de Schur.
Propriedades Expandindo os polinômios de Schur em termos dos polinômios de Hall-Littlewood, tem-se
s
λ
( x ) =
∑
μ
K
λ μ
( t )
P
μ
( x , t )
{\displaystyle s_{\lambda }(x)=\sum _{\mu }K_{\lambda \mu }(t)P_{\mu }(x,t)}
onde
K
λ μ
( t )
{\displaystyle K_{\lambda \mu }(t)}
são os polinômios de Kostka-Foulkes. Note que quando
t = 1
{\displaystyle t=1}
, estes se reduzem aos coeficientes de Kostka comuns. Uma descrição combinatória para os polinômios de Kostka-Foulkes foi dada por Lascoux e Schützenberger,
K
λ μ
( t ) =
∑
T ∈ S S Y T ( λ , μ )
t
c h a r g e
( T )
{\displaystyle K_{\lambda \mu }(t)=\sum _{T\in SSYT(\lambda ,\mu )}t^{\mathrm {charge} (T)}}
onde "charge" (carga) é uma certa estatística combinatória sobre tableaux de Young semipadrão, e a soma é tomada sobre o conjunto
S S Y T ( λ , μ )
{\displaystyle SSYT(\lambda ,\mu )}
de todos os tableaux de Young semipadrão T com forma λ e tipo μ.
Ver também Polinômio de Hall
Referências
Bibliografia I.G. Macdonald (1979). Symmetric Functions and Hall Polynomials. [S.l.]: Oxford University Press. pp. 101–104. ISBN 0-19-853530-9 D.E. Littlewood (1961). «On certain symmetric functions». Proceedings of the London Mathematical Society. 43: 485–498. doi:10.1112/plms/s3-11.1.485
Ligações externas Weisstein, Eric W. «Hall–Littlewood Polynomial». MathWorld (em inglês)
